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La dorada proporción

Euclides, en sus Elementos de geometría (h. 300 a.C.), escribió: «Una recta está dividida en media y extrema razón cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor».

Y… ¿qué quiere decir esto?

Que el todo es a la parte, como la parte al resto. O, lo que es lo mismo: que las partes tienen que guardar un equilibrio y una simetría en relación con el todo.

Y ahí está, precisamente, la base de la belleza de las cosas: la proporción.

La proporción más perfecta parece ser la «dorada», la que se crea a partir del número Phi:

φ = 1,6180339…

Luca Pacioli, amigo del gran Leonardo da Vinci, escribió en 1509 todo un tratado sobre este número de oro, al que bautizó con el nombre de «divina proporción». El nombre «Phi» se lo puso Mark Barr a principios del siglo XX, por ser la inicial de Fidias, el célebre arquitecto del Partenón de Atenas (la letra «f» en griego se pronuncia «fi» y se escribe φ).

Pero antes, mucho antes de todo esto, otro Leonardo (de Pisa, o Pisano) escribió en 1202 un libro titulado Liber abaci, en el que defendía la mayor utilidad de los números arábigos (1, 2, 3, 4, etc.) frente a los romanos (I, II, III, IV, etc.) ¿Y quién era este Leonardo Pisano? Quizá lo conozcas más por su sobrenombre: Fibonacci.

Ahora sí, ¿eh?

Fibonacci realizó importantes aportaciones al mundo de las matemáticas, como su famosa «Serie de Fibonacci». Esta serie numérica es la solución al llamado «problema de los conejos», que dice así:

«¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja, que procrea a su vez a los dos meses de vida?»

Para resolver este problema, Fibonacci elaboró esta tabla:

La columna final muestra el curioso comportamiento de esta serie numérica:  cada número es el resultado de la suma de los dos anteriores. ¿A lo mejor te preguntas por qué hay dos unos? Mira: el primer número de la serie es uno, y antes de él no hay nada, luego 1 + 0 = 1. Por eso el uno se repite:

1
1+0= 1
1+1= 2
2+1= 3
3+2= 5
5+3= 8
etc.

¿Y por qué hablamos de la Serie de Fibonacci en este artículo sobre la proporción áurea? Porque los números crecen siguiendo un patrón que está muy cerca de phi. Aparte de los usos matemáticos de la Serie (en los que no entraremos aquí), estos números tienen una inquietante relación con las proporciones de las cosas. Parece ser que toda la naturaleza, todo el universo, está creado siguiendo esta base proporcional. Las hojas de los árboles, o la estructura de un copo de nieve… todo crece mediante cocientes de phi.

Vamos a ver algunos ejemplos, pero primero tenemos que construir lo que se llama un «rectángulo áureo».  ¿Cómo se hace esto? Primero dibujamos un rectángulo cuyo lado más largo es el resultado de multiplicar el corto por 1,618.  Es decir, que la proporción entre los lados del rectángulo será phi, el número áureo:

Ahora tenemos que restar un cuadrado de la misma longitud que el lado corto, y así obtendremos otro rectángulo áureo igual al inicial:

Si hacemos lo mismo una y otra vez, obtendremos la siguiente figura:

Y ahora viene lo mejor: trazamos distintos cuadrantes de circunferencia de un radio igual al lado de cada uno de los cuadrados que hemos ido separando, con el centro en el vértice de cada uno de ellos, y ¡esto es lo que aparece!:

Bonita imagen, ¿eh? Es nada más y nada menos que una espiral, y la encontramos por todas partes en la naturaleza: en las conchas de los caracoles…

En las rosas…

En las piñas…

En los girasoles…

Hasta en las galaxias…